Une voiture se cache derrière une des trois portes. Peut-on choisir la meilleure ou est-ce du hasard ?

Le problème du jour a provoqué de longues controverses, les mathématiciens ne se mettant pas vite d’accord sur la réponse. Il fait aussi l’objet de tout le chapitre 101 du roman Le Bizarre incident du chien pendant la nuit (1).

Ce problème d’apparence assez simple provient d’une émission de télévision, où le candidat d’un concours avait la possibilité de gagner une voiture. Arrivé en finale, il était mis en face de trois portes, la voiture étant placée au hasard derrière l’une d’elles. Il pouvait en ouvrir une et emporter la voiture si elle était là. En choisissant une porte, il avait donc une chance sur trois de gagner. Dans une variante, la règle du jeu est modifiée. Le candidat choisit une des portes, la montre, mais ne l’ouvre pas. Disons qu’il choisit la porte 1. Le présentateur sait où est la voiture. Il ouvre une des deux autres portes (2 ou 3) et montre que la voiture n’y est pas. Il peut toujours le faire, puisque la voiture ne peut pas se trouver simultanément derrière ces deux portes. Supposons qu’il ouvre la porte 3. Il donne alors au candidat à choisir entre conserver son choix initial 1 ou changer son choix et passer à la porte 2. La question est : le candidat a-t-il intérêt à changer son choix et passer à la porte 2, ou cela n’a-t-il pas d’effet sur sa probabilité de gagner ?

A ce stade, le lecteur pourrait essayer de se faire sa propre opinion avant de poursuivre… L’idée la plus intuitive est que toutes les portes sont équivalentes, puisque la voiture a une chance sur trois d’être derrière chacune d’entre elles. Comme la porte 3 est ouverte et ne cache pas la voiture, les deux autres portes auraient des probabilités égales, un demi pour chacune. Mais ce raisonnement ne tient pas compte de la succession des événements. En fait, le candidat a toujours intérêt à changer son choix, car la porte 1 garde la probabilité un tiers de cacher la voiture, alors que la probabilité de la porte 2 bondit à deux tiers !

Comme ce résultat va à l’encontre de l’intuition, les mathématiciens ont produit au moins quatre démonstrations différentes. En voici une. Au départ, la porte choisie par le candidat (porte 1) a comme les autres une probabilité un tiers de cacher la voiture. Comme le présentateur connaît la place de la voiture, il peut toujours ouvrir une porte parmi la 2 et la 3 ne la cachant pas. Il peut donc ouvrir une porte sans donner d’information nouvelle sur la porte 1, qui garde une probabilité un tiers. Comme la probabilité totale est 1, le candidat aura une probabilité 2/3 s’il change de porte.

Cette démonstration est courte, mais frustrante : elle n’explique pas ce qui s’est passé. Voici une explication plus détaillée. Comme on l’a vu, la probabilité de trouver la voiture derrière la porte 1 vaut encore un tiers après que la porte 3 ait été ouverte. Par contre, l’ouverture de la porte 3 apporte une nouvelle information, ce qui entraîne que les règles du jeu ont changé. Au départ, si le candidat avait eu le droit d’ouvrir deux portes et pas une, il aurait pu ouvrir les 2 et 3 et avoir deux chances sur trois de gagner. L’information nouvelle lui permet en quelque sorte d’ouvrir deux portes : le présentateur en a ouvert une pour lui (la 3), et il ouvre alors la 2. La probabilité de deux tiers se reporte donc à la porte 2. C’est une probabilité sous la condition que la voiture ne soit pas derrière la porte 3.