La réponse n’est pas celle qu’on attend…
Vingt-cinq personnes se réunissent pour l’une ou l’autre occasion. Est-il plutôt probable ou plutôt improbable qu’au moins deux d’entre elles aient leur anniversaire le même jour ( on va supposer qu’aucune n’est née le 29 février) ? Notre intuition nous dit que c’est très peu probable : il n’y a que 25 personnes pour 365 dates d’anniversaire possibles. Or, la réalité est qu’il y a 57 % de chance pour que cette coïncidence se produise. Pour 40 personnes, on arrive à 89 % de chance ; et pour 50 personnes, à 97 % : on n’est pas loin d’une certitude d’un double anniversaire pour 50 personnes qui se partagent 365 dates.
Pour le vérifier, faisons le calcul. Pour ne pas traîner de grands nombres comme 365 et 25 dans les calculs, on va leur donner des noms : le nombre de dates possibles s’appellera » n « , et le nombre de personnes » r « .
Par une première astuce, on remarque qu’exactement deux cas sont possibles : (1) il y a au moins deux anniversaires le même jour, et (2) toutes les dates d’anniversaire sont différentes. La probabilité de (1) plus la probabilité de (2) donne 1 (puisque tous les événements possibles sont comptés une fois) et, donc, la probabilité de (1) que nous cherchons est 1 moins la probabilité de (2). C’est cette dernière que nous allons calculer.
La probabilité de (2) est le nombre de cas où (2) se produit divisé par le nombre de tous les cas possibles.
Pour le nombre de cas possibles, on peut choisir r fois un élément parmi n. Prenons les invités par ordre d’arrivée. On a n possibilités de date pour le premier, n pour le second et ainsi de suite. Le nombre total de cas est donc n.n.n…(multiplié r fois) c’est à dire nr (n exposant r).
Pour le nombre de cas de (2), on peut choisir librement la première date (n choix), pour la deuxième on ne peut pas reprendre la première (il reste n-1 choix), pour la troisième on ne peut choisir ni la première ni la deuxième (il reste n-2 choix) et ainsi de suite r fois. Au total, la probabilité de (2) est :
n.(n-1).(n-2).(n-3)…(n-r+1) divisé par nr.
Ce calcul risque d’être long. Pour n = 365 et r = 25, c’est le produit 365. 364. 363… 341 divisé par (365) exposant 25. Comme (356) exposant 25 est un nombre de 64 chiffres, aucune calculatrice ne le donnera et il faut d’abord simplifier la formule. Pour cela, on note qu’il y a r facteurs en haut et en bas, et qu’on peut diviser chaque facteur du haut par un des » n » du bas. La formule devient :
(n/n). ((n-1)/n). ((n-2)/n)…((n-r+1)/n).
Avec une calculatrice et de la patience, on voit que pour n = 365 et r = 25, le résultat est 0,43. C’est la probabilité d’avoir 25 dates d’anniversaire différentes. La probabilité qu’il y ait au moins une coïncidence est 1 – 0,43 = 0,57, donc 57 pourcent. Le calcul pour 40 ou 50 personnes se fait de la même façon.
On parle ici d’un paradoxe, car la réponse à une question est contraire à ce que l’intuition nous dicte. La réponse est donnée par un calcul rigoureux et est correcte, mais cela ne nous explique pas intuitivement pourquoi c’est effectivement la bonne réponse.
Comme l’a dit le mathématicien allemand Georg Cantor (1845 – 1918, le créateur de la théorie des ensembles) d’un de ses théorèmes : » Je le vois mais je ne le crois pas. »
